递归是我们在编程过程中用到的一种思想，当一个函数自身调用自身的时候，无论是直接或者间接地调用，都属于递归，下面对于什么时候用到递归以及怎么用递归，谈一点我个人初步的想法。

  1. 什么时候用到递归
    当我们要解决的问题有着 反复执行的基本操作 的时候，可以考虑使用递归
  2. 用递归思想进行编程的时候需主要需要注意的几点内容
    首先是 递归上限 ，通常是一个指出递归开始位置的 有效范围内 的对象，一般作为主调函数传输的参数；其次是 递归下限，主要用来确定结束递归的操作，一定要有退出递归的标志性操作，否则，递归将无限期地进行下去；最后就是确定实现递归的 基本操作 和 由递归上限到递归下限的变化过程 ，基本操作在确定使用递归的时候已经考虑好了，需要特别考虑的是由递归上限到递归下限的变化过程，极易出错

下面通过两个例子来加深对上面这段话的理解（C++ 实现）：

（1）求一个数的阶乘

首先，是不是可以用到递归？求一个数的阶乘的时候，重复涉及到两个数的乘法，这是一个 反复执行的基本操作，由此确定此问题可以用递归实现；其次，递归上限是什么？因为阶乘实现的是从 1 到这个数之间所有数的累乘，所以， 递归上限 就是这个数本身，同样可以得到递归下限是 1，最后，需要确定从递归上限到递归下限的变化过程，显然，这个变化过程就是这个数本身（递归上限）到 1（递归下限） 之间不断减 1 的过程，也就是主调函数传输的参数不断减 1 的过程，经过以上分析后，很轻松地就可以写出下面的代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
#include <iostream>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
 
// 实现阶乘操作的递归函数  
int factorial (int val)
{
    if (val > 1)
        return factorial(val - 1) * val;  // val - 1 使得递归上限向递归下限不断接近
    else                // 其实 else 也可以不写，想想为什么？
        return 1;
}
 
int main()
{
    int ival = 0;
    cout << "输入要求阶乘的数： ";
    cin >> ival;
    int res = factorial(ival);
    cout << ival << "! 等于 " 
         << res << endl;
 
    return 0;
}

对于上面的代码，实现阶乘操作的递归函数中，else 可以不写，因为，当传递给 factorial 的参数等于 1 时，函数返回 1 后，结束递归，进入倒数第二层的 factorial 函数的执行，倒数第二层 return factorial(val - 1) * val 之后，即结束倒数第二层的函数调用，在没有 else 的情况下，并不会执行到 return 1，其他层的调用同理，所以，不需要 else ，程序也是正确的，这里写上 else ，只不过为了使得程序的逻辑结构更加清晰一些，另外，return factorial(val - 1) * val 中的 val - 1 切不可换为 --val，如果换成 --val 的话，改变的不仅仅是传递给下一层 factorial 的参数 val，连同本层的 val 也一起改变了，无疑这将引起错误。

（2） 输出 vector 对象的内容首先，是不是可以用递归呢？要不断输出 vector 对象的内容，这就是一个 反复执行的基本操作 ，因此可以用递归思想进行实现，其次，递归的上限是什么呢？有人说，是 vector 对象尾后元素的指针，可是，真的是这个吗？这是不对的，尾后元素的指针并不指向一个有效范围内的对象，它指向的存储空间存储的值是未定义的，这一点尤其要注意，所以，真正的递归上限应该是 vector对象的尾后指针减 1 ，这才是真正有效范围内的对象，显然，递归下限是指向 vector 对象首元素的指针，最后，从递归上限到递归下限的变化过程是递归上限不断减 1 向递归下限逼近，直至最后等于递归下限的值为止，同样轻松地写出了以下的代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
#include <iostream>
#include <vector>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
using std::vector;
 
// 实现打印 vector 对象元素的递归函数
void print(const vector<int> &vec, 
    decltype(vec.begin()) ibeg, decltype(vec.begin()) iend)
{
    if (iend != ibeg)
        print(vec, ibeg, iend - 1);  // iend - 1 使得递归上限向下限不断逼近
    cout << *iend << " ";   // 在这之前不能有 else
} 
 
int main()
{
    vector<int> ivec;
    int ival;
    cout << "请依次输入存放到vector对象中的 10 个整数： " << endl;
    for (unsigned i = 0; i != 10; ++i) {
        cin >> ival;
        ivec.push_back(ival);
    }
 
    // 打印这 10 个数
    print(ivec, ivec.begin(), ivec.end() - 1);  // 真正的递归上限应该是 vector 对象的尾后指针减 1
    cout << endl;
 
    return 0;
}

同理，在实现打印 vector 对象元素的递归函数中 iend - 1 不能换成 --iend，因为这样会改变本层函数中的 iend 参数的值，会得不到期望中的结果，形参中 vector 对象的类型是引用类型，避免了拷贝所引起的时间效率低下和存储空间的浪费，同时，使用 const 是因为不需要改变元素的值，仅仅对元素进行输出操作

以上是我对于递归思想运用的一些简单想法，随着以后逐步深入的了解会有相应的博文推出，欢迎提供宝贵意见。